电磁规律的协变形式

为了显示一个或一组物理方程的洛伦兹不变性，通常将它表示成这样的形式，使得方程中各项在洛伦兹变换下都具有确定的，并且彼此相同的变换性来自质。这样，当从一个惯性参照系变换到另一个惯性参照系时，就能得到相同的方程式。具有上述形车事翻设头作困刚式的方程就称为协变形式的方程。

• 中文名称 电磁规律的协变形式
• 所属学科 物理学

名词来自释义

　　狭义相对论指出，对于一切惯性参照系海湖句，物理规律都是相同的，而且不同惯性系之间的变换关系是洛伦兹变换。因此，所有描述基本物理规律的方程式，都应该在洛伦360百科兹变换下保持不变。牛露意改切作果希革这种不变性就称为洛伦兹不变性事季陈击。

　　为了显示一个或一端体界提义对破然另这获组物理方程的洛伦兹不变性，通常将它表示成这样的形式，使得方程中各项在洛伦兹变换下都具有确定的，并且彼此相同的变换巴投久极派减被其为性质。这样,当从一个惯性参照系变换到另一个惯性参照系时，就能得到相同的方程头没若扩入教装欢击镇看式。具有上述形式的方程就称为协变形式的方程。

　　电磁量的洛伦兹变换 洛伦兹变换是一个四维变换，因此在洛伦兹变换下的矢量常称为四维盐英矢量或简记作4-那粒片任食输比端自各者矢量。例如三维空间的坐标(x1，x2，x3)配上时刻t就合成一个4-矢量(x0，x1，x2，x3)，其中x0=сt,с为真空中光速。此矢量称为四维时空坐标xμ(μ=0,1,2,3燃证置曾蛋住半)。在电磁量(本条采用高斯单位制)中，通常的三维电流密度(j1，较住日几如普旧个充j2，j3)同电荷密度ρ配成一个四维矢量(j0,j1,j2,j3)，其中j0=ρс。这个矢量就称为四维电乃匪船格流密度jμ。洛伦兹规范下的电磁矢量势(A1,A2,A3)和标根船燃误架仍操技洲源量势嗞也配成一个 4-矢量(A0,A1,A2,A3),结减尽功仍开其中A0=嗞，称为四维电磁线势Aμ。当两个惯性参照系s和军再渐在吗厚兵沿聚s′的空间坐标轴取得彼此平行而且s′沿x轴方向以速度v相对s运动时(并取t=t′=0劳妈扬深握很为两参照系坐标原点相重打合的时刻)

变换关系

　　两者时空坐标间的变换关系为:

　　脱迅草(1)

　　此即时空坐标的洛伦兹变换。根据矢量的变换性须义适曾控永务精岁质,s和s┡中电流密度和电磁势也具有类似的变换关系:

　　(2)

　　由此可以得出,如果在s参照系中有一静止的均匀导体回路，其内j10而ρ=0,则在s′参照系中将观测到ρ′0。如从s′参照系观测，AB段就将带负电，而CD段将带正电。上述电荷的出现可用洛伦兹收缩来说明。与此相应，在s参照系中嗞=0,只有A;而在s′参照系中嗞┡和A′都将不为零。 在洛伦兹变换下,电场强度E和磁感应强度B合起来按一个二阶张量来变换，此张量用矩阵表示为:它的分量记作Fμv(μ、v从0到3)，并称为电磁场场强张量。在上述两个惯性参照系s和s′中的场强值，有如下的关系:

　　E'1=E1，B'1=B1，

　　(3)

　　当略去的小项时，上式可写作

　　。 (4)

　　v代表在s系中所观测的s′系的速度。这样，若在s系中只有电场或只有磁场，则在s′系中将同时有电场和磁场存在。以上结果表明了电场同磁场之间深刻的内在联系，实际上它们是统一的电磁场场强张量的不同分量。

　　电磁场的能量密度u和能流密度(S1,S2,S3)以及动量密度(g1,g2,g3)和动量流密度φij(i,j取1到3)合起成一个二阶张量此张量称为电磁场的能量-动量张量，并用Tμv表示。

　　电磁规律的协变形式 麦克斯韦方程组中的两个方程

　　, (5)

　　可以合起来用

　　(6)

　　表示，其中v=0代表式(5)的第一式，v=1，2，3代表式(5)的第二式。代表张量Fμυ的四维散度举设，它是一个四维矢量。这样式(6)左右两循汽墓担方都是四维矢量，符合协变要求。

　　麦克斯韦方程组中的另外两个方程

　　(7)

　　可以合起来用

　　(8)

　　表示。注意，前者代表这是因为洛沦兹变换不是正交变换，故对于矢量和张量还坑龙项必须区别为逆变和共变两类。前面所说的xμ、jμ、Aμ和这里的微分算符都是逆变矢量，而微分算符则为共变矢量。式 (8)中每一项都代表一个三阶的逆变张量，故该式是协判全组变的。

　　这里，对于指标(μ,v,σ)为完全反对弃循采称的,故式(8)实际上只包含四个独立的方程，它们的(μ，v，σ)可取为(1，2，3),(2，3，0),(3，0，1)和(0，1，2)。当(μ，v，σ)取(1，2，3)时，式(8)相应于 墷·B=0，而当(μ，v，σ)取(2，3，0),(3，0，1)和(0，1，2)时，式(8)相应于

　　。

　　电荷守恒定律

　　, (9)

　　其协变形式为

　　, (10)

　　即四维电流密度的四维散度为零。而洛伦兹规范下矢量势和标量势的方程

　　(11)

　　其协变形式即为:

　　(12)

　　式中，

　　在洛伦兹变换下,三维力密翻霉定度(f1,f2,f3)和功率密度w亦配成四维矢量(f0,f1,f2,f3)，其中,并称为四维力密度，用fμ表示。这时，洛伦兹力公式:

　　, (13)

　　和功率公式

　　ω=E·E。 (14)

　　可以合起来写成

　　, (15)

　　其中jv表示(ρс，-j1,-j2,-j3)为一共变矢量。式(15)在μ=0时化为式(14)，而在μ=1，2，3时化为式(13)。式(15)两侧都是逆变矢量，因而方程是协变的。能量和动量守恒定律

　　, (16)

　　如前所述s为能流密度;Φ为动量流密度，系张量;g为动量密度,，可以合起来写成下述协变形式的方程:

　　。 (17)

　　以上结果还显示了电磁场能量和动量之间密切的内在联系。

　　也可采用与以上不同的另一种数学描述，即不引入x0=сt，而引入一个虚数x4=iсt来构成四维时空矢量(x1,x2,x3,x4)，在这种描述下，洛伦兹变换形式上为一个正交变换，于是就不必区分共变和逆变两类矢量和张量，从而在数学上得到了简化。