流函数

简介

　　不可压缩流体和定常可压缩流体的连续性方程可写成： 墷·(ρ)=0， 类灯春建问真率商张(1)

　　式中为速度矢量;ρ为流体密度；ν＝0和ν＝1分别对应于不可压缩流体和定常可压缩流体情形。 由方程(1)容易看到存在着矢势B，使下式成立： ρ=墷×B，(2)

　　式中B称连为广义流函数。在平面运动和轴对称运动这两种特殊情形来自下，B只有一个非零分量360百科,如果引进流函数将带来以一个函数代替两个速度分量函数的好处。在平面运动情形下，连续性方程在直角坐标系中可以写成如下的形式： ，

　　式中u、角房宗犯张v为速度矢量在x、y轴方向用区责沉似境众认上的分量。由此推出存在流函数Ψ，使得： 。

　　显然早反，此时有B＝(0，0，Ψ息做则消)，Ψ称为平面运动的流函数。在轴对称运动中,取转没广石盾企夫柱坐标系(r，嗞，z)和球坐标系(r，嗞，θ)王强曲茶背，连续性方程可分别写为：

流函数

　　(3)

　　式中随劳兴才师城vr、vz和vr效革、vθ分别为速度矢量在柱坐标历分己系r、z轴上和球坐标系r、θ轴上的分量。由式(3)推出存在着流函数Ψ，使材存程力背话触得： ； （柱坐标）

　　。（球坐标）

　　容易验证，此时矢势具有下列形式：

　　Ψ称为轴对称运动的流函数，也称为斯托克斯流函数。

　　对于不可压缩流体，流函数具有下列四个性质：①Ψ可加上任一常数而不影响对流体的运动的描述。②Ψ为常数的曲面是流面。③在Oxy平面上或θ＝π/2的平面上取一曲线弧AB,则通过以AB为底、高为单位的曲面(平面情形)或通过以AB为母线的旋转曲面(轴对称情形)的流量Q与流函数在A、B两点上的值ΨA和划ΨB之间存在如下关内正给府空成坐采备系： 式中ν＝0和ν＝1分别对应于平面和轴对称情形。④在单联通区域内若不存在源、汇（见源流、汇流），则流函数Ψ是单值函数。若单联通区域内有源、汇或在多联通区域内，则Ψ一般是多值函数。

　　如果不可压缩流体杀搞护的运动是无旋的， 则墷×＝0。在直角坐标系中无旋条件给出，由此推出，流函数Ψ满足拉普拉斯方程ΔΨ＝0， 因而是调和函数。在柱坐标系和球坐标系中，无旋条件要求：

　　,（柱坐标）

　　, （球坐标）

　　于是Ψ满足下列方程： DΨ＝0，

　　式中D为广义斯托克斯算符，它在柱坐标系和球坐标系中的表达式分别为： ， （柱坐标）

　　。 （球坐标）