特征根法

定义

　　特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用来自方法。

　　特征根法也360百科可用于求递推数列通项公式，其本质与微分方程相同。

　　r*r-p*r-q称为对递推数列: a(n+2)渐方没丝费苗排白故科食=pa(n+1)+qan的特征方程。

方法

　　对微分方程：

　　设特征方程r*r-p*r-q=0两根为r1，r2。

　　1 若实根r1不等于片垂三目专承钟错无齐r2

　　y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x).

　　2 若实根r1=r2

　　y=(c1+c2x)*e^(r1x)

　　3 若有封用破识室一对共轭复根（略）

　　1 若特征方程有两个不等实根r1,r2则an=c1*r1^n+c2*r2^n

　　其中常数c1,c2由初始值a1=a,a2=b唯一确定。

　　(1) c1r1+c2r2=a;

　　(2) c1r1^2+c2r2^2=b

　　2 若特征方程有两个相等实根r1=r2=r

　　an=(c1+c2)r^n

　　其中常数c1,c2由初始值唯一确定。

　　(1) a=(c1+c2)未编势与岩往线孙钟r

　　(2) b=(c1+2c2)r^洋汽乙研引因食改罪构且2

　　一类重特征根对方程解的简便解法

　　对于常系数齐次线性微分方程组dX/dt=AX,当矩阵A的特征根λi(i=1,…,r)的重数是ni(≥1),对应的mi个初等因子是(λ-λi)ki1,…,(λ-λi)kimi,ki1+…+kimi=ni时,它对应方程中ni个线性无关解,其结构形如Xi(t)=(P(血载i)1(t),…,P(i)n(t))'eλ()i,此时多项式P(i)j(t)的次数小于等于Mi-1,(Mi=max{ki1…,kimi}).由于Mi计算起来非常困难,本文利用相似矩阵的特点和Jordan标准型在Mi-1与ni-1之间找到了一个便于应用的多项式P(i)j(t)次数的上界,使计算起来更加方便和有效.

举例