本文将由皮亚诺公理出发，详细介绍有关自然数的算数属性以及基本性质，并证明推论 1 1 = 2。本文不涉及任何高深的数学知识，适合任何学历读者。
1 1 = 2
在上一篇文章中，我们详细介绍了一些基本数学术语的概念以及区别。对于大多数学生来说，自然数集是学习数学时最早接触的范畴，它也是最基础的数学知识之一。构建自然数以及定义其算数属性的是皮亚诺公理，这意味着诸如 1 1 = 2 这类算式是可以被证明的。接下来将介绍几个重要的数学概念，并引出皮亚诺公理。
自然数
在一个集合 S 中，一个二元关系 ～ 被称为等价关系，当且仅当其具有自反性，对称性以及传递性。换而言之，～ 是等价关系当且仅当对于任意 a, b, c 属于 S：
a ~ a (自反性)
a ~ b 当且仅当 b ~ a (对称性)
若 a ~ b 且 b ~ c，则 a ~ c (传递性)
等价
在数学上，如果两个量具有相同的值，或者更一般来说，两个数学表达式表示相同的数学对象，那么这两个量或数学表达式之间的关系被称为相等。A 和 B 相等可以表示成 A = B，其中符号 “=” 被叫做等号。
根据《几何原本》中的第一条公理：
公理 1：等同于相同事物的事物会互相等同。
不难验证，相等是一种等价关系。相等的概念在皮亚诺公理中有很重要的作用。
自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数。根据国际标准化组织制定的标准 ISO 80000-2，自然数集即非负整数集（正整数和 0 的集合），用 N 表示：
N = { 0, 1, 2, 3, … }
国际标准化组织定义的自然数集
皮亚诺公理定义自然数的算数属性。这一套公理涉及一个常数符号 0 以及一个一元函数 S。需要注意的是，自然数集中的元素以及元素符号并不是由皮亚诺公理定义的，而是由国际标准化组织定义的。若改写自然数集中的某些常数符号（比如将所有的 1 替换成别的符号）会违背国际标准化组织定制的标准，但不会对皮亚诺公理定义的算数属性造成影响。但是，仅仅只有一堆符号的集合是没有办法刻画元素之间的性质的，这就是皮亚诺公理的重要性所在。
首先考虑，自然数集可不可以是空集？显然这是不合理的。因此便有了第一条公理：
公理一：0 是自然数
公理一说明自然数集非空，并且有元素 0 。但是只有一个元素 0 是无法构成自然数集的，我们还需要说明每一个自然数后面必然有另一个自然数。我们借助一个一元函数 S 来描述第二条公理：
公理二：对任意自然数 n，S(n) 是自然数
我们把一元函数 S 称为后继函数，自然数 S(n) 叫做自然数 n 的后继数。函数 S 其实描绘的是自然数集中每个自然数和它的后继数之间的对应关系。公理二说明自然数对于 S 是封闭的，并且根据映射的规则，每一个自然数 n 对应唯一一个后继数 S(n)。那么从 0 开始，S(0) 是 0 的后继数，而 S(0) 作为自然数也有它的后继数 S(S(0))，这样一直重复下去。因此，我们用一个直观的图来刻画自然数结构如下：
理想中的自然数的结构
其中我们定义箭头由自然数 n 指向它的后继数 S(n)。
那么问题出现了，要是 0 的后继数 S(0) = 0 怎么办？这种情况下自然数集就只由 0 组成，并且箭头永远是 0 指向 0，如下图所示
只满足公理一、二的反例
除此之外，0 是否可以是某一个自然数的后继数？这种情况下自然数就不是从 0 开始，如下图所示
只满足公理一、二的反例
对于这两种情况，我们可以归结为，是否存在一个自然数 n，使得它的后继数 S(n) 等于 0 ？这显然是不合理的。因此第三条公理如下陈述：
公理三：不存在自然数 n，使得 S(n) = 0
公理三说明， 0 不是任何自然数的后继数。既然 S(0) 不等于 0，根据国际标准化组织定制的标准，我们把 S(0) 记作 1，1 是 0 的后继数。那我们继续思考，S(1) 等于多少？S(1) 可以等于 0 吗？公理三告诉我们 S(1) 不等于 0；那 S(1) 可以等于 1 吗？目前没有办法否定这种情况，但是情况下，自然数就可以是一个只包含 0 和 1 两个元素的集合，并且 S(0) = 1, S(1) = 1，如下图所示：
只满足前三条公理的反例
除此之外，1 是否可以是多个自然数的后继数？如下图所示：
只满足前三条公理的反例
这两种情况有一个共性，就是有多个自然数对应同一个后继数，这破坏了映射中单射的条件，因此我们只需要对映射 S 加上单射的条件即可，第四条公理如下陈述：
公理四：对于任意自然数 m, n，S(m) = S(n) 当且仅当 m = n
根据公理四来看，S(1) 绝不可能是 1，否则 S(0) = S(1) = 1，违背了公理四。根据国际标准化组织定制的标准，我们把 S(1) 记为 2，2 是 1 的后继数。那么同样，S(2) 不可能是 0 或 1 或 2，我们同样可以用 3 来表示 S(2)，这个过程可以无限进行下去，这是因为每一次标记的后继数不可能是 0 或者是之前标记的任何一个数，否则会违背公理四，所以只可能是一个新的数。
由这四条公理所确定的自然数集仍然存在漏洞，比如下面这种情况：
只满足前四条公理的反例子
在这种情况中，0，1，2，… 依旧属于自然数，不过它多了另一条以 n0 为首的长链，而这两条链不存在公共元素。不难验证，这种结构符合公理一至公理四，但显然不是我们想定义的自然数集的结构。为了排除这种情况，我们只需要从 0 开始不断取后继数，最后可以遍历自然数集即可。公理五如下陈述：
公理五（归纳公理）：若集合 K 是自然数集 N 的一个子集，满足：
1. 0 属于 K
2. 对于任意 n 属于 K，有 S(n) 属于 K
那么集合 K 等于自然数集 N.
归纳公理常常有另一种表述：
公理五（归纳公理）：若 f 是一个单参判断式，满足：
1. f(0) 为真
2. 对于任意自然数 n，若 f(n) 为真那么 f(S(n)) 为真
那么对于任意自然数 n，f(n) 为真.
归纳公理确保了数学归纳法的正确性。这五条公理很严谨地定义了自然数的算数属性。
加法和乘法都是二元运算，换言之，是将两个自然数映射到另一个自然数的函数。
其中，加法的递归定义为：
对于任意 a, b 属于 N，
0 a = a,
S(a) b = S(a b)
类似的，乘法的递归定义为：
对于任意 a, b 属于 N，
a x 0 = 0,
a x S(b) = ab a
下面列举一些常见的自然数加法和乘法的性质，并附上证明。
引理：对于任意自然数 n，S(n) = n 1
引理：对于任意自然数 n，n 0 = n
加法结合律：对于任意自然数 a, b, c，
( a b ) c = a ( b c )
加法交换律：对于任意自然数 m, n，
m n = n m
引理：对于任意自然数 n，0 x n = 0
引理：对于任意自然数 m, n，S(m) n = mn n
乘法分配律：对于任意自然数 a, b, c,
a ( b c ) = ab ac
乘法结合律：对于任意自然数 a, b, c,
(ab)c = a(bc)
乘法交换律：对于任意自然数 m, n，
mn = nm
至此，本文已经介绍完皮亚诺公理以及自然数的算数属性以及基本性质，并且证明了推论 1 1 = 2，希望大家对于自然数能有更深刻的理解。
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